2.6 算術運算式

¶基本算術運算子

C++ 的五個基本算術運算子，跟數學課的加、減、乘、除很像，只是除法要特別小心：

• +（加）、-（減）、*（乘）：和數學一樣。注意乘號是 *，不是 ×。
• /（除）：當左右兩邊都是整數時，做的是整數除法——只取「商」、把小數部分直接丟掉。所以 7 / 3 不是 2.33，而是 2。
• %（取餘，也叫「模」）：取整數除法之後的餘數。所以 7 % 3 是 1。

/ 和 % 可以用「分東西」來想：把 7 顆糖果平分給 3 個人，每人拿 7 / 3 = 2 顆，最後剩下 7 % 3 = 1 顆。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a = 17, b = 5;

    cout << a << " + " << b << " = " << (a + b) << endl;
    cout << a << " - " << b << " = " << (a - b) << endl;
    cout << a << " * " << b << " = " << (a * b) << endl;
    cout << a << " / " << b << " = " << (a / b) << endl;  // 整數除法（只取商）
    cout << a << " % " << b << " = " << (a % b) << endl;  // 取餘（餘數）

    return 0;
}

執行結果：

17 + 5 = 22
17 - 5 = 12
17 * 5 = 85
17 / 5 = 3
17 % 5 = 2

¶整數除法與取餘的細節

¶整數除法是「向零取整」

整數除法把小數丟掉之後，結果會落在哪個整數？規則是：朝數線上「0」的方向縮，停在離 0 比較近的那個整數——這就是「向零取整」名稱的由來。

• 7 / 2 ＝ 3.5，朝 0 縮 → 3
• -7 / 2 ＝ -3.5，朝 0 縮 → -3（不是 -4；-3 比 -4 更靠近 0）

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    cout << "7 / 2 = " << 7 / 2 << endl;      // 3.5 → 3
    cout << "-7 / 2 = " << -7 / 2 << endl;    // -3.5 → -3（朝 0，不是 -4）
    cout << "7 / -2 = " << 7 / -2 << endl;    // -3.5 → -3
    cout << "-7 / -2 = " << -7 / -2 << endl;  // 3.5 → 3
    return 0;
}

執行結果：

7 / 2 = 3
-7 / 2 = -3
7 / -2 = -3
-7 / -2 = 3

¶取餘的規則

由上面那條等式推回去，在 C++ 裡 a % b 的結果符號會和被除數 a 相同：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    cout << "7 % 3 = " << 7 % 3 << endl;      // 1
    cout << "-7 % 3 = " << -7 % 3 << endl;    // -1
    cout << "7 % -3 = " << 7 % -3 << endl;    // 1
    cout << "-7 % -3 = " << -7 % -3 << endl;  // -1
    return 0;
}

執行結果：

7 % 3 = 1
-7 % 3 = -1
7 % -3 = 1
-7 % -3 = -1

¶運算子優先級

和數學課一樣，乘、除、取餘（*、/、%）都比加、減先算——這三個是同一個優先級（取餘並不特別），+、- 也是同一級，同級的由左往右算。例如：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    // 2 + 3 * 4 先算 3 * 4 = 12，再加 2 = 14
    cout << "2 + 3 * 4 = " << 2 + 3 * 4 << endl;

    // 用括號改變順序
    cout << "(2 + 3) * 4 = " << (2 + 3) * 4 << endl;

    return 0;
}

執行結果：

2 + 3 * 4 = 14
(2 + 3) * 4 = 20

要改變這個順序，就用小括號 ( ) 把想先算的部分括起來——括號裡的最先算。

¶整數除法與取餘的三個解題套路

/ 和 % 看起來簡單，卻是 Level 0 出現頻率最高的解題工具。下面三個套路，之後的題目會一再用到。

¶套路 1：拆出一個數的每一位

n % 10 拿到個位數（除以 10 的餘數就是最後一位）；n / 10 則把個位砍掉（整數除法把最後一位丟掉）。兩招交替，就能一位一位拆：

int n = 1234;
cout << n % 10 << endl;        // 4（個位）
cout << n / 10 % 10 << endl;   // 3（先砍掉個位變 123，再取個位 → 十位）
cout << n / 100 % 10 << endl;  // 2（先砍掉兩位變 12，再取個位 → 百位）

口訣：% 10 抓出尾巴那一位、/ 10 把尾巴砍掉。要一位一位處理，就 / 10 一直砍、每砍一次再 % 10 抓。

¶套路 2：1~N 中，d 的倍數有 N / d 個

先看例子：1 到 14 中，3 的倍數有 3, 6, 9, 12，共 4 個——正好是 14 / 3（整數除法）的結果。

為什麼？這些倍數依序是 1{\times}3,\ 2{\times}3,\ 3{\times}3,\ 4{\times}3——第 k 個 d 的倍數就是 k \times d。「k \times d \le N」等價於「k 不超過 N / d 的整數部分」；再大一個（第 5 個是 15）就超過 14 了。所以：

1~N 中 d 的倍數，共有 N / d 個（C++ 整數除法，小數自動捨去）。

延伸一步：要數「被 4 或被 7 整除」的個數，直接相加 N/4 + N/7 會把「同時被 4 和 7 整除」（也就是被 28 整除）的數算兩次，要再扣回來一次：

ans = N / 4 + N / 7 - N / 28;

這就是數學課學過的集合聯集公式（0.4 的學前數學清單有列）：|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|。

¶套路 3：無條件進位（向上取整）

整數除法是無條件捨去，但很多題目要的是無條件進位：遊戲 X 元、每天存 Y 元，至少要存幾天？X / Y 除不盡時，剩下的零頭得再多存一天。慣用寫法：

X 除以 Y 向上取整 ＝ (X + Y - 1) / Y

為什麼「先加 Y - 1 再除」剛剛好？分兩種情況驗證：

• X 整除 Y（餘數 0）：多加的 Y-1 不足以再湊出一個 Y，商不變——本來就不用進位。
• X 除以 Y 餘 r（1 \le r \le Y-1）：r + (Y-1) \ge Y，剛好把商往上推一格——這正是要的進位；又因為 r + (Y-1) < 2Y，最多只推一格、不會推過頭。

¶換你動手

學完五個算術運算子，最好的鞏固方式就是實際解題。去把本節下方的相關練習題做一遍——用 +、-、*、/、% 解決時間換算、糖分計算這類實際問題，寫完提交看看吧！